Problema — Blocco su piano inclinato con molla (equilibrio e oscillazioni)

Testo

Un blocco ($m = 5\;\mathrm{kg}$) è legato a una molla ($K = 500\;\mathrm{N/m}$, $\ell_0 = 5\;\mathrm{m}$) su un piano inclinato di $30^\circ$ alto $10\;\mathrm{m}$. Usando come coordinata $x$ la base orizzontale, trova: (a) il punto di equilibrio; (b) i punti di inversione per $E_\text{mecc} = 2000\;\mathrm{J}$; (c) la velocità massima; (d) il periodo delle piccole oscillazioni. Suggerimento: scrivi $E_\text{pot}(x)$ come parabola in $x$.

Soluzione

Suggerimento chiave: scrivere $E_\text{pot}(x)$ come parabola. La coordinata $x$ è la proiezione orizzontale della posizione del blocco (misurata dalla base del piano). Se $d$ è la distanza percorsa lungo il piano, allora $x = d\cos 30^\circ$, cioè $d = x/\cos 30^\circ = 1{,}1547\,x$.

• Energia potenziale gravitazionale (riferimento alla base, $h = d\sin 30^\circ = x\tan 30^\circ$):

$E_\text{pot,g} = mg\,x\tan 30^\circ = 5\cdot 9{,}81\cdot 0{,}5774\,x = 28{,}3\,x$

• Energia potenziale elastica (deformazione della molla $d - \ell_0 = 1{,}1547\,x - 5$):

$E_\text{pot,m} = \tfrac{1}{2}K\,(1{,}1547\,x - 5)^2 = 250\,(1{,}1547\,x - 5)^2 = 333{,}3\,x^2 - 2886{,}8\,x + 6250$

Sommando, si ottiene la parabola dell’energia potenziale:

$E_\text{pot}(x) = 333{,}3\,x^2 - 2858{,}4\,x + 6250 \qquad (a = 333{,}3,\ b = -2858{,}4,\ c = 6250)$

(a) Punto di equilibrio — vertice della parabola ($x_\text{eq} = -b/2a$):

$\ev{x_\text{eq} = \frac{2858{,}4}{2\cdot 333{,}3} \approx 4{,}29\;\mathrm{m}}$

Il minimo dell’energia potenziale vale $E_\text{pot,min} = c - \dfrac{b^2}{4a} \approx 6250 - 6128 \approx 122\;\mathrm{J}$.

(b) Punti di inversione per $E_\text{mecc} = 2000\;\mathrm{J}$ — sono i punti dove $E_\text{pot}(x) = E_\text{mecc}$, cioè $E_\text{cin} = 0$:

$333{,}3\,(x - 4{,}29)^2 + 122 = 2000 \quad\Rightarrow\quad (x - 4{,}29)^2 = \frac{1878}{333{,}3} = 5{,}63$

$x - 4{,}29 = \pm 2{,}37 \quad\Rightarrow\quad \ev{x_1 \approx 1{,}91\;\mathrm{m}, \quad x_2 \approx 6{,}66\;\mathrm{m}}$

(c) Velocità massima — si ha all’equilibrio, dove l’energia cinetica è massima:

$E_\text{cin,max} = E_\text{mecc} - E_\text{pot,min} = 2000 - 122 = 1878\;\mathrm{J}$

$\tfrac{1}{2}m\,v_\text{max}^2 = 1878 \quad\Rightarrow\quad v_\text{max} = \sqrt{\frac{2\cdot 1878}{5}} = \sqrt{751{,}2}$

$\ev{v_\text{max} \approx 27{,}4\;\mathrm{m/s}}$

(d) Periodo delle piccole oscillazioni. Con $E_\text{pot}(x) = a\,x^2 + \dots$ e $\alpha = 30^\circ$ (angolo tra la direzione del moto, lungo il piano, e la coordinata orizzontale $x$):

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2a\cos^2\alpha}} = 2\pi\sqrt{\frac{5}{2\cdot 333{,}3\cdot\cos^2 30^\circ}} = 2\pi\sqrt{\frac{5}{500}} = 2\pi\cdot 0{,}1$

$\ev{T \approx 0{,}628\;\mathrm{s}}$

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale elastica · Energia potenziale gravitazionale · Conservazione dell’energia meccanica · Forza elastica e legge di Hooke · Forze conservative Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni · Lettura dei grafici · Scomposizione sul piano inclinato · Impostazione simbolica Oggetti: Piano inclinato · Molla · Blocco