Modi normali dell'oscillatore accoppiato

Cosa succede quando due o più oscillatori sono collegati fra loro? Il sistema più semplice è quello di due masse identiche $m$ collegate da tre molle: due molle alle pareti (costante $K$) e una molla centrale (costante $\kappa$) che le accoppia.

Due masse identiche collegate alle pareti da molle $K$ e fra loro dalla molla di accoppiamento $\kappa$ (in oro).

Le equazioni del moto per le due masse sono accoppiate: ognuna contiene sia $x_1$ sia $x_2$.

$\begin{cases} m\,\ddot x_1 = -K\,x_1 - \kappa\,(x_1 - x_2) \\ m\,\ddot x_2 = -K\,x_2 - \kappa\,(x_2 - x_1) \end{cases}$

Non sono più due oscillatori indipendenti. Il trucco per risolverle è un cambio di variabili: $X = (x_1 + x_2)/2$ (moto del centro di massa) e $\xi = x_1 - x_2$ (differenza relativa).

Principio — Modi normali dell'oscillatore accoppiato

Sommando e sottraendo le due equazioni si ottengono due equazioni disaccoppiate: $m\,\ddot X = -K\,X \qquad m\,\ddot\xi = -(K + 2\kappa)\,\xi$ Il sistema ha quindi due modi normali indipendenti:

• modo simmetrico ($x_1 = x_2$, le masse oscillano in fase): $\omega_+ = \sqrt{K/m}$; la molla centrale non si deforma.
• modo antisimmetrico ($x_1 = -x_2$, in opposizione di fase): $\omega_- = \sqrt{(K + 2\kappa)/m}$.

Formula chiave — I due modi normali

$\omega_+ = \sqrt{\frac{K}{m}} \ \text{(in fase)}, \qquad \omega_- = \sqrt{\frac{K + 2\kappa}{m}} \ \text{(controfase)}$ Ogni moto del sistema è una sovrapposizione dei due modi. Il modo antisimmetrico è più veloce perché la molla centrale, deformandosi, aggiunge richiamo.

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Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Modi normali Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla

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