Esercizio svolto — Trovare A e φ dalle condizioni iniziali

Testo

Una massa $m = 0{,}2$ kg attaccata a una molla $K = 50$ N/m parte da $x_0 = 5$ cm dalla posizione di equilibrio con velocità iniziale $v_0 = -1$ m/s (verso l’equilibrio). Determinare $A$, $\varphi$, $T$ e la posizione a $t = 0{,}1$ s.

Soluzione

Pulsazione e periodo. $\omega = \sqrt{K/m} = \sqrt{50/0{,}2} = \sqrt{250} \approx 15{,}8$ rad/s, quindi $T = \frac{2\pi}{\omega} \approx 0{,}40 \ \text{s}$

Ampiezza. La conservazione dell’energia lega ampiezza, posizione e velocità iniziali: $\tfrac{1}{2}K A^2 = \tfrac{1}{2}K x_0^2 + \tfrac{1}{2}m v_0^2$, da cui $A^2 = x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2} = (0{,}05)^2 + \frac{(1)^2}{250} = 0{,}0025 + 0{,}004 = 0{,}0065$ $\ev{A \approx 0{,}081 \ \text{m} = 8{,}1 \ \text{cm}}$

Fase iniziale. Da $x_0 = A\cos\varphi$ si ha $\cos\varphi = 0{,}05/0{,}081 \approx 0{,}617$, quindi $\varphi = \pm 51{,}9^\circ \approx \pm 0{,}906$ rad. Il segno si decide dalla velocità: $v_0 = -A\omega\sin\varphi$, e siccome $v_0 < 0$ deve essere $\sin\varphi > 0$, quindi $\ev{\varphi \approx +0{,}906 \ \text{rad}}$

Posizione a $t = 0{,}1$ s. $x(0{,}1) = 0{,}081\cos(15{,}8\cdot 0{,}1 + 0{,}906) = 0{,}081\cos(2{,}49) \approx \ev{-0{,}065 \ \text{m}}$

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla