Problema — Grafici di posizione, velocità e accelerazione

Testo

Disegna in un unico piano cartesiano i grafici di posizione, velocità e accelerazione di un oscillatore armonico semplice di ampiezza $A$, pulsazione $\omega$, fase iniziale nulla. Indica chiaramente dove si trovano i massimi e gli zeri di ciascuna grandezza, e spiega in parole come ricavare $v$ e $a$ dal grafico di $x(t)$.

Soluzione

Con fase iniziale nulla, posizione, velocità e accelerazione si ottengono derivando successivamente:

$\begin{aligned} x(t) &= A\cos\omega t \\ v(t) &= \dot{x} = -A\omega\sin\omega t \\ a(t) &= \ddot{x} = -A\omega^2\cos\omega t = -\omega^2 x \end{aligned}$

Come leggere il grafico. La velocità è la pendenza (derivata) della curva di $x(t)$: dove $x$ passa per lo zero (equilibrio) la sua curva è più ripida, quindi $|v|$ è massima e vale $A\omega$; dove $x$ è agli estremi la curva è piatta, quindi $v = 0$.

L’accelerazione è la pendenza di $v(t)$, ed è anche proporzionale a $-x$: è massima in modulo agli estremi (punti di inversione), dove vale $A\omega^2$, ed è nulla all’equilibrio. Da qui la sfasatura: $v$ è in anticipo di un quarto di periodo su $x$, e $a$ è in opposizione di fase con $x$.

$\ev{v_{\max} = A\omega \text{ agli zeri di } x,\quad a_{\max} = A\omega^2 \text{ ai punti di inversione}}$

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice Competenze: Lettura dei grafici