Problema — Massa fra due molle, K equivalente

Testo

Una massa $m$ è collegata in mezzo a due molle di costanti $K_1$ e $K_2$, fissate a due pareti opposte. Dimostra, partendo dal bilancio delle forze in un piccolo spostamento $x$, che il moto risulta armonico con costante elastica equivalente $K_\text{eq} = K_1 + K_2$. Confronta con il risultato per due molle in serie.

Soluzione

Spostiamo la massa di $x$ dalla posizione di equilibrio. La molla 1 viene deformata e reagisce con una forza $-K_1 x$; la molla 2 pure reagisce con $-K_2 x$. Una molla tira e l’altra spinge, ma entrambe puntano verso l’equilibrio, quindi le forze si sommano: $F = -K_1 x - K_2 x = -(K_1 + K_2)\, x$ La seconda legge di Newton dà $m\,\ddx = -(K_1 + K_2)\, x$ che è l’equazione del moto armonico $\ddx = -\omega^2 x$ con $\omega = \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K_1 + K_2}}$ Le due molle così disposte agiscono in parallelo, con costante equivalente $\ev{K_\text{eq} = K_1 + K_2}$ Se invece le molle fossero in serie (una dopo l’altra), la stessa forza le attraversa entrambe e gli allungamenti si sommano: $1/K_\text{eq} = 1/K_1 + 1/K_2$, cioè $K_\text{eq}^\text{serie} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ che è più piccola della più piccola delle due: il sistema in serie è più morbido, quello in parallelo più rigido.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Forza elastica e legge di Hooke · Moto armonico semplice Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla