Problema — Oggetto in una ciotola sferica

Testo

Un piccolo oggetto è appoggiato in una ciotola sferica di raggio $R$, liscia. Spostato di poco dal fondo, oscilla. Spiega perché il moto è armonico per piccoli angoli, e da cosa dipende il periodo. Confronta con il pendolo semplice.

Soluzione

L’oggetto sul fondo di una ciotola di raggio $R$ si muove lungo un arco di cerchio, esattamente come una massa appesa a un filo di lunghezza $\ell = R$: il centro della sfera fa da punto di sospensione. Spostato di un angolo $\theta$, la componente tangenziale del peso è la forza di richiamo: $F_t = -mg\sin\theta \approx -mg\,\theta \qquad (\theta \ll 1)$ Per piccoli angoli $\sin\theta \approx \theta$, quindi il richiamo è proporzionale allo spostamento e il moto è armonico. Con lo spostamento lungo l’arco $s = R\theta$ si ottiene $m\,\ddt s = -\frac{mg}{R}\,s \quad\Rightarrow\quad \ev{\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}}$ e quindi $T = 2\pi\sqrt{R/g}$. È identico a un pendolo semplice di lunghezza $\ell = R$: il periodo dipende solo dal raggio e da $g$, non dalla massa dell’oggetto.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Pendolo semplice Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni Metodi: Approssimazione lineare delle piccole oscillazioni