Problema — Lettura grafico oscillazione smorzata

Testo

Un sismografo registra lo spostamento di una massa oscillante: $x(t)$ ha forma di sinusoide la cui ampiezza decresce esponenzialmente. Ai tempi $t = 0$, $2{,}0$, $4{,}0$, $6{,}0\;\text{s}$ l’ampiezza misurata è $A_0 = 5{,}0$, $A_1 = 3{,}5$, $A_2 = 2{,}45$, $A_3 = 1{,}71\;\text{cm}$. (a) Verifica l’andamento esponenziale. (b) Calcola la costante $\gamma$ tale che $A(t) = A_0 e^{-(\gamma/2)t}$.

Soluzione

(a) Calcolo i rapporti fra ampiezze successive (ogni $2{,}0\;\text{s}$):

$\frac{A_1}{A_0} = \frac{3{,}5}{5{,}0} = 0{,}70, \quad \frac{A_2}{A_1} = \frac{2{,}45}{3{,}5} = 0{,}70, \quad \frac{A_3}{A_2} = \frac{1{,}71}{2{,}45} = 0{,}698$

Il rapporto è costante $\approx 0{,}70$ a ogni intervallo di $2\;\text{s}$: è la firma di un decadimento esponenziale.

(b) Su $\Delta t = 2{,}0\;\text{s}$ l’inviluppo scala di $0{,}70$:

$e^{-(\gamma/2)\cdot 2} = 0{,}70 \;\Rightarrow\; e^{-\gamma} = 0{,}70 \;\Rightarrow\; \gamma = -\ln(0{,}70) = 0{,}357$

$\ev{\gamma \approx 0{,}357\;\text{s}^{-1}}$

Tempo di dimezzamento dell’ampiezza: $t_{1/2} = 2\ln 2/\gamma \approx 3{,}88\;\text{s}$.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Oscillazioni smorzate Competenze: Lettura dei grafici