Problema — Passi sul ponte

Testo

Un ponte pedonale lungo $80\;\text{m}$ ha frequenza propria di oscillazione trasversale (laterale) $f_p \approx 0{,}9\;\text{Hz}$. Un gruppo di persone vi cammina sincronizzando il passo. Stima quante persone servono per portare il ponte all’ampiezza pericolosa di $\sim 5\;\text{cm}$, supponendo che ogni persona di $70\;\text{kg}$ trasferisca $\sim 30\;\text{J}$ di energia per passo, e che lo smorzamento meccanico dissipi $\sim 80\%$ dell’energia per ciclo. Massa del ponte: $\sim 100$ tonnellate.

Soluzione

Energia di oscillazione bersaglio, con $M = 10^5\;\text{kg}$, $\omega = 2\pi f_p \approx 5{,}65\;\text{rad/s}$, $A = 0{,}05\;\text{m}$:

$E = \tfrac{1}{2} M \omega^2 A^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 10^5 \cdot 31{,}9 \cdot (0{,}05)^2 \approx 4\cdot 10^3\;\text{J}$

A regime l’energia immessa per ciclo deve pareggiare quella dissipata. Se lo smorzamento toglie l’$80\%$ per ciclo:

$E_\text{diss} \approx 0{,}8\, E \approx 3200\;\text{J/ciclo}$

Ogni persona dà $\sim 30\;\text{J}$ per passo, e a $\sim f_p$ compie circa un passo utile per semiperiodo: $\sim 30\text{–}60\;\text{J}$ per persona per ciclo. Numero necessario:

$N \approx \frac{3200}{60} \sim 50$

$\ev{N \sim 50 \text{ persone sincronizzate}}$

Confronta con il Millennium Bridge (Londra, 2000), chiuso pochi giorni dopo l’apertura per oscillazioni laterali indotte dalla folla.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Risonanza Competenze: Stime di Fermi