Problema — Pendolo non isocrono

Testo

Per oscillazioni grandi, il periodo del pendolo dipende dall’ampiezza. L’approssimazione $\sin\theta \approx \theta$ non vale. Mostra che per ampiezza $\theta_0 = 60^\circ$ il periodo è circa il $7\%$ maggiore del valore $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ delle piccole oscillazioni. Spiega perché aumenta e non diminuisce.

Soluzione

Lo sviluppo del periodo esatto per ampiezza finita, al primo ordine, è:

$T \approx T_0\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right)$

con $\theta_0$ in radianti. Per $\theta_0 = 60^\circ = \pi/3 \approx 1{,}047\;\text{rad}$:

$\frac{\theta_0^2}{16} = \frac{1{,}097}{16} \approx 0{,}0685$

$\ev{T/T_0 \approx 1 + \theta_0^2/16 \approx 1{,}07}$

cioè circa $+7\%$.

Perché aumenta: la forza di richiamo vera è $-mg\sin\theta$, più debole di quella lineare $-mg\theta$ perché $\sin\theta < \theta$. Un richiamo minore rende l’oscillazione più lenta, quindi il periodo cresce con l’ampiezza.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Pendolo semplice