Esercizio svolto — Pendolo composto

Testo

Un’asta rigida omogenea di lunghezza $L = 1{,}0$ m e massa $m = 0{,}40$ kg è incernierata a un estremo, libera di oscillare nel piano verticale. Calcolare: (a) momento d’inerzia rispetto al perno, (b) periodo delle piccole oscillazioni, (c) confronto col pendolo semplice di stessa lunghezza.

Soluzione

(a) Momento d’inerzia. Per un’asta omogenea incernierata a un estremo: $I = \tfrac{1}{3}mL^2 = \tfrac{1}{3}\cdot 0{,}40\cdot 1^2 \approx \ev{0{,}133 \ \text{kg m}^2}$

(b) Periodo del pendolo fisico. Vale $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$, dove $d = L/2$ è la distanza del centro di massa dal perno: $T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}133}{0{,}40\cdot 9{,}81\cdot 0{,}5}} = 2\pi\sqrt{0{,}0679} \approx \ev{1{,}64 \ \text{s}}$

(c) Confronto col pendolo semplice di $L = 1$ m: $T_s = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}} \approx 2{,}01 \ \text{s}$

L’asta oscilla più veloce di un pendolo semplice di stessa lunghezza (circa $20\%$ più breve) perché il suo centro di massa è più vicino al perno: la massa distribuita lungo l’asta ha braccio medio minore di una massa concentrata in fondo.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Momento d’inerzia · Periodo e frequenza Oggetti: Asta