Problema — Dalle misure di un'oscillazione smorzata al Q

Testo

Un oscillatore armonico smorzato ha frequenza $f_0 = 5{,}0\;\text{Hz}$ (non smorzato). Si osserva che dopo $N = 20$ oscillazioni l’ampiezza si riduce del $50\%$. Calcola: (a) la costante $\gamma$, (b) il fattore di qualità $Q = \omega_0/\gamma$.

Soluzione

(a) Periodo $T_0 = 1/f_0 = 0{,}20\;\text{s}$. Dopo $20$ oscillazioni è trascorso $t = 20 \cdot 0{,}20 = 4{,}0\;\text{s}$. L’inviluppo $A = A_0 e^{-(\gamma/2)t}$ si dimezza:

$e^{-(\gamma/2)\cdot 4} = 0{,}5 \;\Rightarrow\; \gamma = \frac{2\ln 2}{4}$

$\ev{\gamma \approx 0{,}347\;\text{s}^{-1}}$

(b) Con $\omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi \cdot 5{,}0 \approx 31{,}4\;\text{rad/s}$:

$Q = \frac{\omega_0}{\gamma} = \frac{31{,}4}{0{,}347}$

$\ev{Q \approx 90}$

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Oscillazioni smorzate · Periodo e frequenza Competenze: Lettura dei grafici