Esercizio svolto — Molla verticale con bilancio energetico

Testo

Una massa $m = 0{,}5$ kg appesa a una molla verticale ($K = 200$ N/m) viene tirata $3$ cm verso il basso dalla posizione di equilibrio (già abbassata dal peso) e lasciata libera con velocità nulla. Determinare: $T$, $A$, $v_\text{max}$, $a_\text{max}$, energia totale.

Soluzione

Pulsazione e periodo. $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0{,}5}} = 20 \ \text{rad/s}, \qquad T = \frac{2\pi}{20} \approx 0{,}314 \ \text{s}$

Perché il peso non conta. La posizione di equilibrio statico tiene già conto del peso ($K x_\text{eq} = mg$). Rispetto a quella posizione l’oscillazione è quella di una molla ideale: il peso sposta solo il centro dell’oscillazione, non ne cambia la dinamica. Quindi l’ampiezza è lo spostamento imposto, $A = 0{,}03 \ \text{m}$

Grandezze massime ed energia. $v_\text{max} = A\omega = 0{,}03\cdot 20 = 0{,}6 \ \text{m/s}$ $a_\text{max} = A\omega^2 = 0{,}03\cdot 400 = 12 \ \text{m/s}^2$ $\ev{E = \tfrac{1}{2}K A^2 = 0{,}5\cdot 200\cdot (0{,}03)^2 = 0{,}09 \ \text{J}}$

Verifica. Lo stesso valore si ritrova come $\tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2 = 0{,}5\cdot 0{,}5\cdot (0{,}6)^2 = 0{,}09$ J: l’energia oscilla fra forma elastica e cinetica senza perdite.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Energia potenziale elastica · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Molla