Problema — Energia e ampiezza

Testo

Vogliamo che un oscillatore armonico ($m = 2\;\text{kg}$, $K = 800\;\text{N/m}$) abbia energia totale $E = 25\;\text{J}$. Quale ampiezza, quale velocità massima?

Soluzione

L’energia totale di un oscillatore armonico coincide con l’energia potenziale nel punto di massima elongazione, dove tutta l’energia è elastica:

$E = \tfrac{1}{2}K A^2 \;\Rightarrow\; A = \sqrt{\frac{2E}{K}} = \sqrt{\frac{50}{800}} = \sqrt{0{,}0625}\;\text{m}$

$\ev{A = 0{,}25\;\text{m}}$

Nel passaggio per l’equilibrio tutta l’energia è cinetica, quindi:

$E = \tfrac{1}{2}m\, v_{\max}^2 \;\Rightarrow\; v_{\max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25}\;\text{m/s}$

$\ev{v_{\max} = 5\;\text{m/s}}$

Verifica con $\omega = \sqrt{K/m} = \sqrt{800/2} = 20\;\text{rad/s}$: infatti $v_{\max} = A\omega = 0{,}25 \cdot 20 = 5\;\text{m/s}$. ✓

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Energia potenziale elastica · Energia cinetica · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Molla