Problema — Bicchiere d'acqua sull'altalena

Testo

Un bambino sta su un’altalena di lunghezza $\ell = 2{,}5\;\text{m}$. Sotto al sedile pende un altro filo, di $0{,}5\;\text{m}$, con un bicchiere d’acqua. Quale dei due “pendoli” oscilla più velocemente? Di quanto? Discuti l’effetto della sovrapposizione dei due ritmi sul contenuto del bicchiere.

Soluzione

Entrambi i sistemi sono pendoli semplici, con periodo $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$.

Altalena:

$T_a = 2\pi\sqrt{\frac{2{,}5}{9{,}81}} \approx 2\pi \cdot 0{,}505\;\text{s} \approx 3{,}17\;\text{s}$

$\ev{T_a \approx 3{,}17\;\text{s}}$

Bicchiere:

$T_b = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{9{,}81}} \approx 2\pi \cdot 0{,}226\;\text{s} \approx 1{,}42\;\text{s}$

$\ev{T_b \approx 1{,}42\;\text{s}}$

Il rapporto dei periodi dipende solo dal rapporto delle lunghezze:

$\frac{T_a}{T_b} = \sqrt{\frac{2{,}5}{0{,}5}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$

Il bicchiere oscilla circa 2,2 volte più velocemente dell’altalena.

Discussione: i due ritmi hanno frequenze diverse e non commensurabili tra loro; la sovrapposizione dei due movimenti fa sciabordare l’acqua in modo irregolare. L’altalena potrebbe “eccitare” fortemente il bicchiere solo se le due frequenze fossero vicine (risonanza), ma qui sono molto diverse, quindi il travaso di energia dall’altalena al bicchiere resta modesto.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Oggetti: Pendolo semplice