Esercizio svolto — esplosione in due frammenti

Testo

Un petardo ($m_{\text{tot}} = 2\;\text{kg}$) esplode liberando $E_{\text{scoppio}} = 500\;\text{J}$ e dividendosi in due frammenti di massa $m_1 = 0{,}5\;\text{kg}$ e $m_2 = 1{,}5\;\text{kg}$. Calcolare le velocità.

Soluzione

Conservazione di $\vv{p}$ (il petardo è inizialmente fermo, quindi $p_\text{tot} = 0$ prima e dopo): $0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad v_2 = -\frac{m_1}{m_2}\,v_1 = -\frac{0{,}5}{1{,}5}\,v_1 = -\frac{1}{3}\,v_1$ I due frammenti partono in versi opposti (il segno meno).

Bilancio energetico: tutta l’energia liberata diventa energia cinetica dei frammenti: $E_{\text{scoppio}} = \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2$ Sostituendo $v_2 = -\tfrac{1}{3}v_1$: $500 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}5\cdot v_1^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}5\cdot \frac{v_1^2}{9} = v_1^2\!\left(\frac{0{,}5}{2} + \frac{1{,}5}{18}\right) = \frac{v_1^2}{3}$ Risoluzione: $v_1 = \sqrt{1500} \approx 38{,}7\;\text{m/s}, \qquad v_2 = -\tfrac{1}{3}v_1 \approx -12{,}9\;\text{m/s}$ $\ev{v_1 \approx 38{,}7\;\mathrm{m/s},\quad v_2 \approx -12{,}9\;\mathrm{m/s}}$ Il frammento più leggero va tre volte più veloce: pur avendo la stessa quantità di moto (in modulo) dell’altro, porta via gran parte dell’energia cinetica.

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Esplosione · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Conservazione della quantità di moto · Metodo delle due tabelle