Dimostrazione urto elastico 1D

Testo

Dimostra che, in un urto elastico unidimensionale tra una massa $m_1$ con velocità iniziale $v_1$ e una massa $m_2$ inizialmente ferma, la velocità della prima massa dopo l’urto vale $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1$. Commenta i casi limite $m_1 \gg m_2$ e $m_1 \ll m_2$.

Soluzione

Con $m_2$ ferma ($v_2 = 0$), scrivo le due leggi di conservazione dell’urto elastico. Quantità di moto: $m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ Energia cinetica: $\tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2'^2$ Riscrivo entrambe portando i termini di $m_1$ a sinistra: $m_1 (v_1 - v_1') = m_2 v_2'$ $m_1 (v_1^2 - v_1'^2) = m_2 v_2'^2$ Nella (2’) scompongo la differenza di quadrati: $v_1^2 - v_1'^2 = (v_1 - v_1')(v_1 + v_1')$. Divido membro a membro la (2’) per la (1’) (lecito perché l’urto avviene, quindi $v_1 \neq v_1'$ e $v_2' \neq 0$): $v_1 + v_1' = v_2'$ Questa è la relazione sulle velocità relative. Sostituisco la (3) nella (1’): $m_1 (v_1 - v_1') = m_2 (v_1 + v_1')$ $m_1 v_1 - m_1 v_1' = m_2 v_1 + m_2 v_1'$ Raccolgo $v_1'$ a destra e $v_1$ a sinistra: $v_1 (m_1 - m_2) = v_1' (m_1 + m_2)$ $\ev{v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1}$ Casi limite.

• $m_1 \gg m_2$: la frazione tende a $+1$, quindi $v_1' \approx v_1$. La massa pesante prosegue quasi indisturbata (come un TIR che colpisce una pallina).
• $m_1 \ll m_2$: la frazione tende a $-1$, quindi $v_1' \approx -v_1$. La massa leggera rimbalza indietro quasi alla stessa velocità (come una pallina contro un muro).

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica