Urto elastico in 1D

In un urto elastico unidimensionale si conservano sia la quantità di moto sia l’energia cinetica. Sono due equazioni, e con due incognite (le velocità finali $v_1'$ e $v_2'$) il problema è completamente determinato.

Urto elastico in 1D: le palle si scambiano (in parte) velocità. Il corpo più leggero tende a rimbalzare indietro.

Le due leggi di conservazione si scrivono:

$\begin{aligned} m_1 v_1 + m_2 v_2 &= m_1 v_1' + m_2 v_2' \\ \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 &= \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \end{aligned}$

La seconda equazione è quadratica e scomoda da risolvere direttamente. C’è però un trucco che la rende lineare.

Principio — Trucco dell'urto elastico

La conservazione dell’energia cinetica, combinata con quella della quantità di moto, si può riscrivere come $\ev{v_{\text{rel,prima}} = -\,v_{\text{rel,dopo}}}$ cioè $v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')$: la velocità relativa dei due corpi si inverte di segno.

Il trucco in pratica

Al posto della coppia (conservazione di $p$) + (conservazione di $E_\text{cin}$, quadratica) si usa la coppia molto più maneggevole: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ $v_1 - v_2 = v_2' - v_1'$ Due equazioni lineari nelle incognite $v_1'$, $v_2'$: si risolvono in pochi passaggi.

L’inversione della velocità relativa dice anche una cosa fisica importante: i due corpi si allontanano dopo l’urto con la stessa velocità con cui si avvicinavano prima. È il coefficiente di restituzione $e = 1$ dell’urto perfettamente elastico. Da qui segue, per esempio, che una pallina leggerissima contro un muro fermo torna indietro alla stessa velocità con cui è arrivata.

Il calcolo numerico completo è in Esercizio svolto — urto elastico 1D; la formula generale per un bersaglio fermo è dimostrata in Dimostrazione urto elastico 1D.

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica

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