Elastotennis

Testo

Elastotennis. Due studenti immaginano una partita di “elastotennis”: sia la pallina sia la racchetta sono perfettamente elastiche (coefficiente di restituzione $e = 1$) e prive di attrito. Uno dei due sostiene che, con un colpo abbastanza secco, la pallina può non rimbalzare sulla racchetta e restare incollata ad essa. L’altro nega energicamente. (a) Chi ha ragione? (b) Mostra che, in un urto elastico unidimensionale tra una pallina di massa $m$ e una racchetta di massa $M$, la velocità relativa si inverte sempre: $v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima}$. (c) Concludi: con $e = 1$ è impossibile che la pallina “segua” la racchetta.

Problema rielaborato da (Povey 2015, §4.2).

Soluzione

(a) Ha ragione chi nega: la pallina rimbalza sempre. Lo dimostriamo dalle leggi di conservazione.

(b) Chiamiamo $v_1, v_2$ le velocità prima dell’urto (pallina $m$ e racchetta $M$) e $v_1', v_2'$ quelle dopo. Valgono conservazione di quantità di moto ed energia cinetica: $\begin{aligned} m v_1 + M v_2 &= m v_1' + M v_2' \\ \tfrac{1}{2}m v_1^2 + \tfrac{1}{2}M v_2^2 &= \tfrac{1}{2}m v_1'^2 + \tfrac{1}{2}M v_2'^2 \end{aligned}$ Riscrivo raggruppando per massa: $\begin{aligned} m(v_1 - v_1') &= M(v_2' - v_2) \\ m(v_1^2 - v_1'^2) &= M(v_2'^2 - v_2^2) \end{aligned}$ Divido la seconda per la prima (fattorizzando le differenze di quadrati): $\frac{m(v_1-v_1')(v_1+v_1')}{m(v_1-v_1')} = \frac{M(v_2'-v_2)(v_2'+v_2)}{M(v_2'-v_2)}$ $v_1 + v_1' = v_2' + v_2 \;\Longrightarrow\; v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')$ Cioè la velocità relativa si inverte: $v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima}$

(c) “Restare incollata” significherebbe $v_1' = v_2'$, ossia $v_\text{rel,dopo} = 0$. Ma dalla (b), con $e = 1$, $v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima} \neq 0$ (la pallina arriva con velocità relativa non nulla). Quindi è impossibile: la pallina si stacca sempre.

Risultato finale: $\ev{v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima}\ \Rightarrow\ \text{la pallina rimbalza sempre}}$

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica