La culla di Newton

Testo

Hai presente la culla di Newton, con cinque sfere allineate? Sollevi una sola sfera laterale e la lasci cadere: dall’altra parte schizza via una sola sfera, mentre le tre in mezzo restano ferme. Perché? Mostra che ogni altra configurazione viola la conservazione dell’energia cinetica.

Soluzione

Le sfere hanno tutte la stessa massa $m$ e gli urti tra sfere d’acciaio sono praticamente elastici: si conservano sia la quantità di moto totale sia l’energia cinetica totale. La sfera lanciata arriva con velocità $v$. Supponiamo che dall’altra parte escano $n$ sfere, tutte con la stessa velocità $v'$ (le rimanenti restano ferme). Conservazione della quantità di moto: $m\,v = n\,m\,v' \;\Rightarrow\; v' = \frac{v}{n}$ Conservazione dell’energia cinetica: $\tfrac{1}{2}\,m\,v^2 = \tfrac{1}{2}\,n\,m\,v'^2$ Sostituendo $v'=v/n$: $\tfrac{1}{2}\,m\,v^2 = \tfrac{1}{2}\,n\,m\,\frac{v^2}{n^2} = \tfrac{1}{2}\,m\,\frac{v^2}{n} \;\Rightarrow\; 1 = \frac{1}{n} \;\Rightarrow\; n = 1$ Quindi esce esattamente una sfera, con $v'=v$. Se ne uscissero due ($n=2$, ciascuna a $v/2$), la quantità di moto tornerebbe ($2\cdot m\,\tfrac{v}{2}=mv$), ma l’energia cinetica finale varrebbe $\tfrac{1}{2}\,m\,\tfrac{v^2}{2}$, cioè la metà: mancherebbe energia, impossibile in un urto elastico. L’unica configurazione che salva insieme $\vv{p}$ ed $E_\text{cin}$ è: una entra, una esce. $\ev{n=1:\ \text{esce una sola sfera a velocità } v}$

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Culla di Newton