Teorema di König per l'energia cinetica

L’energia cinetica totale di un sistema si può sempre scrivere come somma di due contributi: uno legato al moto del centro di massa (come se tutta la massa viaggiasse compatta) e uno interno, calcolato rispetto al CM.

Legge — Teorema di König per l'energia cinetica

$\ev{E_{\text{cin,tot}} = \underbrace{\tfrac{1}{2}M_{\text{tot}}\,v_{\text{CM}}^2}_{E_{\text{cin,CM}}} + \underbrace{\sum_i \tfrac{1}{2}m_i\,v_i'^2}_{E_{\text{cin,int}}}}$ dove $\vec{v}_i' = \vec{v}_i - \vec{v}_{\text{CM}}$ è la velocità del corpo $i$ nel sistema di riferimento del CM.

Il primo termine è l’energia cinetica del moto d’insieme; il secondo è l‘“agitazione interna” delle parti attorno al CM. Ci sono due modi equivalenti per calcolare $E_\text{cin,int}$, a seconda di quali velocità è più comodo usare.

Due modi per $E_\text{cin,int}$

$E_\text{cin,int} = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_i^2 - \tfrac{1}{2}M_\text{tot} v_\text{CM}^2$ $E_\text{cin,int} = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i\,|\vec{v}_i - \vec{v}_\text{CM}|^2$

Il primo usa le velocità nel laboratorio (energia totale meno energia del CM); il secondo usa direttamente le velocità relative al CM. Il risultato è lo stesso: un osservatore fermo e uno seduto sul CM calcolano la stessa $E_\text{cin,int}$.

Esempio — Verifica della scomposizione

Due palle: $m_1 = 3\;\text{kg}$ a $v_1 = 3\;\text{m/s}$, $m_2 = 7\;\text{kg}$ a $v_2 = 2\;\text{m/s}$ (moto 1D). La velocità del CM è $v_{\text{CM}} = (3\cdot 3 + 7\cdot 2)/10 = 2{,}3\;\text{m/s}$.

Metodo 1 (differenza): $E_{\text{cin,tot}} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 9 + \tfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 4 = 27{,}5\;\text{J}$ $E_{\text{cin,CM}} = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 2{,}3^2 = 26{,}45\;\text{J} \quad\Rightarrow\quad E_{\text{cin,int}} = 27{,}5 - 26{,}45 = 1{,}05\;\text{J}$

Metodo 2 (velocità relative): $v_1' = 3 - 2{,}3 = 0{,}7$, $v_2' = 2 - 2{,}3 = -0{,}3$ $E_{\text{cin,int}} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 0{,}49 + \tfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 0{,}09 = 0{,}735 + 0{,}315 = 1{,}05\;\text{J} \;\checkmark$

Intuizione

Nel SRCM la quantità di moto totale è nulla ($\sum_i m_i \vec{v}_i' = \vec{0}$), perché l’osservatore si muove proprio alla velocità del CM. Al momento della massima compressione in un urto con molla, entrambi i corpi hanno velocità $v_\text{CM}$: l’$E_\text{cin,int} = 0$ e tutta l’energia interna è immagazzinata nella molla.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Energia cinetica · Energia interna Competenze: Cambio di sistema di riferimento

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