Dimostrazione del teorema di König

Testo

Dimostra il teorema di König per l’energia cinetica di un sistema di due particelle: l’energia cinetica totale è la somma dell’energia cinetica del centro di massa e dell’energia cinetica delle due particelle rispetto al centro di massa.

Soluzione

Impostazione. Scriviamo la velocità di ciascuna particella come $\vec{v}_i = \vec{v}_\text{CM} + \vec{v}_i'$, con $\vec{v}_i'$ velocità relativa al CM ($i = 1, 2$). L’energia cinetica totale è $E_\text{cin,tot} = \sum_{i=1}^{2} \tfrac{1}{2}m_i\,|\vec{v}_\text{CM} + \vec{v}_i'|^2$

Sviluppo del quadrato. Usando $|\vec{v}_\text{CM} + \vec{v}_i'|^2 = v_\text{CM}^2 + 2\,\vec{v}_\text{CM}\cdot\vec{v}_i' + v_i'^2$: $E_\text{cin,tot} = \tfrac{1}{2}M_\text{tot}v_\text{CM}^2 + \vec{v}_\text{CM}\cdot\!\sum_i m_i\vec{v}_i' + \sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_i'^2$

Il termine misto si annulla. Per definizione di CM, la quantità di moto nel SRCM è nulla: $\sum_i m_i\vec{v}_i' = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2' = \vec{0}$ quindi il termine centrale scompare. Restano solo i due termini cercati: $\ev{E_\text{cin,tot} = \tfrac{1}{2}M_\text{tot}v_\text{CM}^2 + \sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_i'^2 = E_\text{cin,CM} + E_\text{cin,int}}$

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Energia cinetica · Energia interna Competenze: Impostazione simbolica