Teorema di König per il momento angolare

Come l’energia cinetica, anche il momento angolare di un sistema di più corpi si scompone in un contributo “del CM” e uno “interno”.

Legge — Teorema di König per il momento angolare

$\ev{\vec{L}_{\text{tot}} = \underbrace{\vec{r}_{\text{CM}}\times\vec{p}_{\text{tot}}}_{\vec{L}_{\text{CM}}} + \underbrace{\sum_i \vec{r}_i'\times m_i\vec{v}_i'}_{\vec{L}_{\text{int}}}}$ dove $\vec{r}_i' = \vec{r}_i - \vec{r}_\text{CM}$ e $\vec{v}_i' = \vec{v}_i - \vec{v}_\text{CM}$ sono posizione e velocità di ciascun corpo relative al CM.

Le due parti hanno interpretazioni distinte. $\vec{L}_\text{CM}$ (il momento angolare orbitale): geometricamente è il momento angolare di un punto materiale fittizio posto in $\vec{r}_\text{CM}$ che trasporta tutta la massa $M_\text{tot}$ e tutta la quantità di moto $\vec{p}_\text{tot}$; praticamente, se il sistema non ruota attorno al proprio CM, tutto $\vec{L}_\text{tot}$ si riduce a $\vec{L}_\text{CM}$.

$\vec{L}_\text{int}$ (il momento angolare di spin): geometricamente è “come ruotano le parti interne del sistema” attorno al CM — pensate a uno yo-yo in volo, il cui $\vec{L}_\text{int}$ è lo spin dello yo-yo. Per un corpo rigido che ruota con velocità angolare $\vec{\omega}$ attorno al proprio CM vale $\vec{L}_\text{int} = I_\text{CM}\,\vec{\omega}$, con $I_\text{CM}$ momento d’inerzia rispetto al CM.

Se il momento totale delle forze esterne è nullo, il momento angolare totale si conserva:

$\sum\vec{M}_{\text{ext}} = \vec{0} \;\Rightarrow\; \vec{L}_{\text{tot}} = \text{costante}$

Contesto — Il doppio momento angolare della Terra

La Terra possiede sia un momento angolare orbitale ($\vec{L}_\text{CM}$: il moto attorno al Sole) sia un momento angolare di spin ($\vec{L}_\text{int}$: la rotazione attorno al proprio asse). Entrambi si conservano, il che spiega perché la Terra continua a ruotare: nessuna forza esterna significativa applica un momento frenante.

Esempio — Due palline in moto

$m_1 = 4\;\text{kg}$ in $\vec{r}_1 = (-1, 1)$ con $\vec{v}_1 = (0, 3)\;\text{m/s}$; $m_2 = 5\;\text{kg}$ in $\vec{r}_2 = (2, -2)$ con $\vec{v}_2 = (6\cos 45^\circ, -6\sin 45^\circ) = (4{,}24;\; -4{,}24)$.

Centro di massa: $\vec{r}_\text{CM} = \frac{4(-1,1) + 5(2,-2)}{9} = \frac{(6,\, -6)}{9} = (0{,}67;\; -0{,}67)$ $\vec{v}_\text{CM} = \frac{4(0,3) + 5(4{,}24;\,-4{,}24)}{9} = \frac{(21{,}2;\; -9{,}2)}{9} = (2{,}35;\; -1{,}02)$

$\vec{L}_\text{CM}$ rispetto all’origine ($\vec{p}_\text{tot} = M_\text{tot}\vec{v}_\text{CM} = (21{,}2;\, -9{,}2)$): $L_\text{CM} = x_\text{CM}\,p_y - y_\text{CM}\,p_x = 0{,}67\cdot(-9{,}2) - (-0{,}67)\cdot 21{,}2 = -6{,}16 + 14{,}2 = 8{,}04$

$\vec{L}_\text{int}$: dalle velocità relative $\vec{v}_1' = (0,3) - (2{,}35;\,-1{,}02) = (-2{,}35;\, 4{,}02)$ e $\vec{v}_2' = (4{,}24;\,-4{,}24) - (2{,}35;\,-1{,}02) = (1{,}89;\, -3{,}22)$, e dalle posizioni relative, si calcolano i prodotti vettoriali $\vec{r}_i'\times m_i\vec{v}_i'$ e se ne fa la somma.

Il centro di massa e il momento angolare sono gli strumenti che ci permettono di passare dalla meccanica del punto materiale alla meccanica dei corpi rigidi e dei sistemi rotanti, argomento del prossimo capitolo.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Momento angolare · Conservazione del momento angolare · Momento d’inerzia Competenze: Scelta del polo

Esercizi collegati: Il tuffatore che ruota · Problema — Momento angolare di rotazione propria della Terra · Problema — Ranking di ω a parità di momento angolare