Esercizio svolto — Cerchio con buco

Testo

Un disco di raggio $2\;\text{m}$ e densità superficiale $2\;\text{kg/m}^2$ ha un foro circolare di raggio $0{,}5\;\text{m}$ centrato in $(1,1)$. Dove si trova il CM?

Soluzione

Si usa il metodo dell’anti-materia: disco intero (massa positiva) più buco (massa negativa).

Massa del disco intero (raggio $2\;\text{m}$, area $\pi R^2 = 4\pi$): $m_1 = 2\cdot\pi\cdot 4 = 25{,}1\;\text{kg}, \qquad \text{CM in } (0,0)$

Massa del buco (raggio $0{,}5\;\text{m}$, area $\pi (0{,}5)^2 = 0{,}25\pi$): $m_2 = 2\cdot\pi\cdot 0{,}25 = 1{,}57\;\text{kg}, \qquad \text{CM in } (1,1)$

Formula anti-materia (il buco entra con segno meno): $\vec{s}_{\text{CM}} = \frac{m_1\,(0,0) - m_2\,(1,1)}{m_1 - m_2} = \frac{25{,}1\,(0,0) - 1{,}57\,(1,1)}{25{,}1 - 1{,}57} = \frac{(-1{,}57;\; -1{,}57)}{23{,}5}$

$\ev{\vec{s}_{\text{CM}} = (-0{,}07;\; -0{,}07)\;\text{m}}$

Il CM si sposta leggermente nella direzione opposta al buco: il foro è in $(1,1)$, quindi togliere massa da quella parte trascina il baricentro verso il quadrante opposto.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Centro di massa Competenze: Calcolo del centro di massa