Momento d'inerzia

Il momento d’inerzia $I$ misura quanto è difficile far ruotare un corpo attorno a un certo asse. È l’analogo rotazionale della massa: come la massa esprime la resistenza di un corpo a cambiare il proprio stato di moto traslazionale, così il momento d’inerzia esprime la resistenza a cambiare lo stato di rotazione.

La differenza cruciale è che $I$ non è una proprietà intrinseca del corpo, ma dipende da come la massa è distribuita rispetto all’asse scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, ha momenti d’inerzia diversi. La massa che si trova lontano dall’asse conta molto di più, perché per farla muovere alla stessa velocità angolare occorre imprimerle una velocità lineare maggiore.

Principio — Momento d'inerzia

Per un sistema di masse puntiformi: $\ev{I = \sum_i m_i\,r_i^2}$ dove $r_i$ è la distanza della massa $i$-esima dall’asse di rotazione.

Il fattore $r_i^2$ (distanza al quadrato) spiega perché la geometria pesa così tanto: raddoppiare la distanza di una massa dall’asse quadruplica il suo contributo a $I$. Concentrare la massa vicino all’asse rende il corpo “agile” in rotazione; spostarla verso il bordo lo rende “pigro”.

Momenti d'inerzia notevoli (asse per il centro)

Corpo	Momento d’inerzia
Cilindro pieno	$I = \tfrac{1}{2}mR^2$
Cilindro cavo (anello)	$I = mR^2$
Sfera piena	$I = \tfrac{2}{5}mR^2$
Sfera cava	$I = \tfrac{2}{3}mR^2$
Asta (asse al centro)	$I = \tfrac{1}{12}mL^2$

A parità di massa e raggio, l’anello ha il momento d’inerzia più grande (tutta la massa è al raggio massimo), la sfera piena il più piccolo (molta massa vicino al centro). È esattamente il motivo per cui, lasciati rotolare giù da uno stesso piano, la sfera piena vince la gara e l’anello arriva ultimo.

Il teorema degli assi paralleli (Huygens–Steiner)

Se si conosce il momento d’inerzia $I_\text{CM}$ rispetto a un asse passante per il centro di massa, quello rispetto a un asse parallelo a distanza $d$ vale:

$I_P = I_\text{CM} + M d^2$

Ad esempio, per un’asta uniforme il momento rispetto al centro è $\tfrac{1}{12}ML^2$; rispetto a un estremo (a distanza $d = L/2$) diventa

$I_\text{estremo} = \tfrac{1}{12}ML^2 + M\left(\tfrac{L}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{3}ML^2$

un valore quattro volte più grande, perché ora tutta la massa ruota mediamente più lontano dall’asse.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento d’inerzia Oggetti: Corpo rigido

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