Puleggia a doppio raggio

Un caso più ricco della puleggia massiva ordinaria è la puleggia con due raggi diversi $r_1$ e $r_2$, sul cui bordo interno ed esterno si avvolgono due funi separate, ciascuna con la propria massa appesa. È il principio del verricello e del paranco differenziale.

L’idea chiave è che la puleggia è un unico corpo rigido: ruota con una sola accelerazione angolare $\alpha$. Ma i due punti di avvolgimento si trovano a distanze diverse dall’asse, quindi le due masse hanno accelerazioni lineari diverse, legate ad $\alpha$ dal vincolo geometrico:

$a_i = \alpha\,r_i$

Attenzione — accelerazioni diverse, stessa $\alpha$

Con raggi diversi le accelerazioni lineari delle due masse sono diverse: $a_1 \neq a_2$. Ciò che è unico è l’accelerazione angolare della puleggia. Il legame tra i due mondi è sempre $a_i = \alpha\,r_i$: sbagliare questo vincolo è l’errore più comune in questi problemi.

Combinando la seconda legge di Newton per le due masse con l’equazione rotazionale della puleggia $t_2\,r_2 - t_1\,r_1 = I\,\alpha$ e sostituendo il vincolo, si isola l’accelerazione angolare:

$\ev{\alpha = \frac{m_2\,g\,r_2 - m_1\,g\,r_1}{I + m_1\,r_1^2 + m_2\,r_2^2}}$

Il segno del numeratore decide il verso della rotazione: prevale la massa che agisce con il momento più grande, cioè con il prodotto $m\,g\,r$ maggiore — non necessariamente la massa più pesante, ma quella appesa al raggio più conveniente. È il segreto del paranco: una massa piccola su un raggio grande può sollevare una massa grande su un raggio piccolo. Il denominatore ha la struttura di un momento d’inerzia efficace del sistema: quello della puleggia più il contributo $m_i r_i^2$ di ciascuna massa, come se fosse un punto materiale a distanza $r_i$ dall’asse.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento di una forza · Accelerazione angolare Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Puleggia

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