Problema — Puleggia a doppio raggio

Testo

Una puleggia ha raggi $r_1 = 0{,}05\;\mathrm{m}$ e $r_2 = 0{,}1\;\mathrm{m}$, con momento d’inerzia $I = \tfrac{1}{2}m_p r_2^2$. Da ciascun raggio pende una massa: $m_1 = 3\;\mathrm{kg}$ su $r_1$ e $m_2 = 5\;\mathrm{kg}$ su $r_2$. Ricava l’accelerazione angolare, partendo dal vincolo $a_i = \alpha\,r_i$.

Soluzione

La puleggia ruota con un’unica $\alpha$, ma le due masse hanno accelerazioni lineari diverse, $a_i = \alpha\,r_i$. Scriviamo Newton per le due masse e la rotazione della puleggia, e sostituiamo il vincolo. Il risultato generale è $\ev{\alpha = \frac{m_2\,g\,r_2 - m_1\,g\,r_1}{I + m_1\,r_1^2 + m_2\,r_2^2}}$ Numericamente il numeratore vale $g(m_2 r_2 - m_1 r_1) = 9{,}81\,(5\cdot 0{,}1 - 3\cdot 0{,}05) = 9{,}81\cdot 0{,}35 \approx 3{,}4\;\mathrm{N\cdot m}$, mentre il denominatore è $I + m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 = I + 0{,}0575\;\mathrm{kg\,m^2}$ (con $I = \tfrac{1}{2}m_p r_2^2$ dipendente dalla massa della puleggia). Il segno positivo del numeratore conferma che prevale $m_2$, appesa al raggio maggiore.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento di una forza · Accelerazione angolare Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Puleggia