Corpi che rotolano

Quando un corpo rotola senza strisciare, il suo moto è simultaneamente traslazione (il centro di massa avanza) e rotazione (il corpo gira su sé stesso). Le due cose non sono indipendenti: sono legate dal vincolo di rotolamento, che nasce dal fatto che il punto di contatto con il piano non slitta.

Vincolo di rotolamento

$v = \omega\,r$ La velocità del centro di massa è legata alla velocità angolare dal raggio. Derivando: $a = \alpha\,r$.

La conseguenza energetica è profonda. L’energia cinetica di un corpo che rotola si divide in due contributi: quello traslazionale del centro di massa e quello rotazionale attorno al centro di massa (è il teorema di König applicato al rotolamento).

$E_\text{cin} = \underbrace{\tfrac{1}{2}m v^2}_{\text{traslazione}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}I_\text{CM}\,\omega^2}_{\text{rotazione}}$

Poiché parte dell’energia disponibile finisce nella rotazione, un corpo che rotola giù da un piano arriva in fondo più lento di un blocco che scivola senza attrito dalla stessa altezza: il blocco mette tutta l’energia potenziale nella traslazione, il corpo che rotola deve dividerla.

Usando il vincolo $\omega = v/r$ e la conservazione dell’energia $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I_\text{CM}\,\omega^2$, si ricava la velocità in fondo. Quanto più il momento d’inerzia è grande (massa lontano dall’asse), tanto più lento è il corpo.

Velocità in fondo al piano (partendo da fermo, quota $h$)

Corpo	Velocità alla base
Blocco (scivola, no rotazione)	$v = \sqrt{2gh}$
Cilindro pieno (rotola)	$v = \sqrt{\tfrac{4}{3}gh}$
Sfera piena (rotola)	$v = \sqrt{\tfrac{10}{7}gh}$

Più la massa è lontana dall’asse, più il corpo è lento: in una gara di discesa vince la sfera piena, perde l’anello.

L’accelerazione lungo il piano si può scrivere in forma compatta come

$a = \frac{g\sin\theta}{1 + I_\text{CM}/(mr^2)}$

che mostra a colpo d’occhio la gerarchia: il fattore $I_\text{CM}/(mr^2)$ vale $\tfrac{2}{5}$ per la sfera piena, $\tfrac{1}{2}$ per il cilindro pieno, $1$ per l’anello — e non dipende dal raggio, così che due sfere di taglie diverse arrivano insieme. Lo svolgimento numerico dettagliato è nell’esercizio svolto sulla sfera.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Rotolamento · Energia cinetica rotazionale · Conservazione dell’energia meccanica Oggetti: Sfera che rotola · Piano inclinato

Esercizi collegati: Esercizio svolto — sfera che rotola giù da un piano · Problema — Sfera che rotola, velocità alla base · Problema — Asta incernierata che cade dall’orizzontale