Esercizio svolto — sfera che rotola giù da un piano

Testo

Una sfera omogenea ($m = 5\;\mathrm{kg}$, $R = 2\;\mathrm{m}$, $I = \tfrac{2}{5}mR^2$) parte da ferma in cima a un piano inclinato alto $h = 3\;\mathrm{m}$ e rotola senza strisciare. Trovare la velocità in fondo.

Soluzione

In assenza di strisciamento l’attrito è statico e non dissipa energia: l’energia meccanica si conserva. L’energia cinetica in fondo ha però due contributi, traslazionale e rotazionale. $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$ Vincolo di rotolamento $\omega = v/R$; sostituendo $I = \tfrac{2}{5}mR^2$: $\tfrac{1}{2}I\omega^2 = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}mR^2\cdot\frac{v^2}{R^2} = \tfrac{1}{5}mv^2$ Il bilancio diventa: $\tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{5}mv^2 = mgh \quad\Rightarrow\quad \tfrac{7}{10}v^2 = gh$ $v = \sqrt{\frac{10\,gh}{7}} = \sqrt{\frac{10\cdot 9{,}81\cdot 3}{7}} \approx \ev{6{,}5\;\mathrm{m/s}}$ È più lento di un blocco che scivola senza attrito dalla stessa quota ($v = \sqrt{2gh} = 7{,}7\;\mathrm{m/s}$): parte dell’energia potenziale è finita nella rotazione invece che nella traslazione.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Rotolamento · Energia cinetica rotazionale · Conservazione dell’energia meccanica Oggetti: Sfera che rotola · Piano inclinato