Quando usare L = Iω e Ecin = ½Iω²

Le formule compatte $L = I\omega$ ed $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$ sembrano semplici, ma nascondono una trappola: con quale $I$? La risposta dipende da come si muove il corpo, e ci sono due situazioni distinte da non confondere mai.

Principio — Due casi d'uso

Caso A — corpo inchiodato in un punto $P$ fisso. Se l’asta è incernierata e ruota attorno al cardine $P$, si usa: $L = I_P\,\omega \qquad E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I_P\,\omega^2$ dove $I_P$ è il momento d’inerzia rispetto a $P$ (non al CM). Per una sbarra uniforme rispetto a un estremo, dal teorema di Huygens–Steiner: $I_P = \tfrac{1}{12}ML^2 + M(\tfrac{L}{2})^2 = \tfrac{1}{3}ML^2$.

Caso B — corpo che trasla e ruota (rotolamento, urto con asta libera). Si usa il teorema di König, separando il contributo del CM da quello interno: $L_\text{tot} = \underbrace{\vec{r}_\text{CM}\times\vec{p}_\text{tot}}_{L_\text{CM}} + \underbrace{I_\text{CM}\,\omega}_{L_\text{int}} \qquad E_\text{cin,tot} = \underbrace{\tfrac{1}{2}M v_\text{CM}^2}_{E_\text{cin,CM}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}I_\text{CM}\omega^2}_{E_\text{cin,int}}$ dove $I_\text{CM}$ è il momento d’inerzia rispetto al CM.

La regola d’oro: se il corpo è fisso in un punto, usa $I_P$; se il corpo trasla e ruota, usa $I_\text{CM}$ e aggiungi separatamente il termine del centro di massa.

Non mescolare i due casi

Errore comune: usare $I_\text{CM}$ quando il corpo ruota attorno a un cardine, o dimenticare il termine del CM nel caso B. Nel caso dell’asta incernierata, se usassi per sbaglio $I_\text{CM} = \tfrac{1}{12}ML^2$ al posto di $\tfrac{1}{3}ML^2$, otterresti un $\omega$ quattro volte più grande e un’energia cinetica sedici volte più grande. Il test dell’energia persa (che deve essere $\geq 0$ in un urto anelastico) fallirebbe, segnalando l’errore.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento angolare · Energia cinetica rotazionale · Momento d’inerzia Metodi: Teorema di König

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