Caso 3: urto elastico con asta libera su rotaia

Ora l’asta è libera di scorrere su una rotaia liscia: niente cardine fisso. Questo cambia radicalmente il bilancio, perché sparisce la reazione vincolare impulsiva che rovinava la conservazione della quantità di moto.

• La quantità di moto si conserva: non ci sono forze esterne orizzontali impulsive.
• L’energia cinetica si conserva: urto elastico.
• Il momento angolare rispetto a qualsiasi polo fisso si conserva: nessuna forza esterna impulsiva, quindi nessun momento esterno (il peso è bilanciato dalla reazione della rotaia, ed entrambi sono trascurabili nell’urto istantaneo).

Con tutte e tre le conservazioni disponibili, le incognite sono tre:

• $v_B$ = velocità finale del proiettile;
• $v_\text{CM}$ = velocità del centro di massa dell’asta (traslazione);
• $\omega$ = velocità angolare dell’asta (rotazione attorno al suo CM).

E tre equazioni: conservazione di $p_x$, $L$, $E_\text{cin}$.

Quantità di moto:

$m_p v_A = m_p v_B + M v_\text{CM}$

Momento angolare (rispetto a un polo fisso, per esempio la posizione iniziale del CM dell’asta):

$m_p v_A\cdot\tfrac{L}{2} = m_p v_B\cdot\tfrac{L}{2} + I_\text{CM}\,\omega$

con $I_\text{CM} = \tfrac{1}{12}ML^2$ — il momento d’inerzia dell’asta rispetto al suo CM, perché qui l’asta non è incernierata.

Energia cinetica:

$\tfrac{1}{2}m_p v_A^2 = \tfrac{1}{2}m_p v_B^2 + \underbrace{\tfrac{1}{2}M v_\text{CM}^2}_{E_\text{cin,CM}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}I_\text{CM}\omega^2}_{E_\text{cin,int}}$

Il teorema di König in azione

Nel caso 3 l’energia cinetica dell’asta si scompone in due contributi (teorema di König): quello traslazionale del centro di massa più quello rotazionale interno attorno al CM. È la scomposizione che rende il conto coerente e che distingue il corpo libero dal corpo incernierato. Con tre incognite e tre equazioni, questo è il più completo dei tre casi.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Conservazione della quantità di moto · Urto elastico Metodi: Teorema di König Oggetti: Asta

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