Problema — Urto elastico 2D su un biliardo

Testo

Palla 1 ($m_1 = 4\;\mathrm{kg}$) si muove con $\vec{v}_{1A} = (1{,}73;\,-1)\;\mathrm{m/s}$ e urta elasticamente la palla 2 ($m_2 = 7\;\mathrm{kg}$, ferma). Dopo l’urto la palla 1 esce a $20^\circ$ sotto l’asse $x$ con modulo $v_{1B}$ da determinare. Scrivi le tre equazioni di conservazione e indica le incognite.

Soluzione

Urto elastico in due dimensioni: si conservano entrambe le componenti della quantità di moto e l’energia cinetica. Le tre incognite sono il modulo $v_{1B}$ (direzione nota, $-20^\circ$) e le due componenti $v_{2B,x}$, $v_{2B,y}$ della palla 2.

Conservazione di $p_x$: $m_1 v_{1A,x} = m_1 v_{1B}\cos(-20^\circ) + m_2 v_{2B,x}$ Conservazione di $p_y$: $m_1 v_{1A,y} = m_1 v_{1B}\sin(-20^\circ) + m_2 v_{2B,y}$ Conservazione di $E_\text{cin}$ (elastico): $\tfrac{1}{2}m_1 v_{1A}^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_{1B}^2 + \tfrac{1}{2}m_2\left(v_{2B,x}^2 + v_{2B,y}^2\right)$ $\ev{\text{3 equazioni } (p_x, p_y, E_\text{cin}) \text{ in 3 incognite } (v_{1B}, v_{2B,x}, v_{2B,y})}$ Il sistema non è lineare (l’energia contiene i quadrati), ma si risolve per sostituzione: dalle prime due si ricavano $v_{2B,x}$ e $v_{2B,y}$ in funzione di $v_{1B}$, che si sostituiscono nella terza.

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane