La palla da biliardo: dove colpire?

Un problema affascinante che unisce impulso, impulso angolare e rotolamento: a che altezza bisogna colpire una palla da biliardo con la stecca affinché rotoli senza strisciare fin dall’inizio, senza slittare sul panno?

L’intuizione è che la stecca fa due cose contemporaneamente. Dà alla palla un impulso traslazionale (che accelera il centro di massa) e, poiché colpisce a una certa altezza $b$ dal tavolo, dà anche un impulso angolare rispetto al punto di contatto (che la mette in rotazione). Se colpisci troppo in basso, la palla trasla ma non ruota abbastanza e slitta in avanti; se colpisci troppo in alto, ruota troppo e slitta all’indietro. Esiste un’altezza magica in cui i due effetti si accordano perfettamente e il rotolamento puro è immediato.

Imponendo l’impulso traslazionale $m v_\text{CM} = I_x$ e l’impulso angolare rispetto al punto di contatto, con la condizione di rotolamento $v_\text{CM} = \omega r$, si trova

$\ev{b = \tfrac{7}{5}\,r}$

Bisogna colpire a $7/5$ del raggio dal tavolo, cioè leggermente sopra il centro della palla (che si trova a quota $r$). È il segreto che ogni buon giocatore di biliardo conosce per istinto: colpire appena sopra il centro fa partire la palla in rotolamento fluido, senza quello slittamento iniziale che ne rende imprevedibile la traiettoria. Lo svolgimento completo è nell’esercizio svolto dedicato.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Rotolamento · Momento angolare · Impulso Oggetti: Sfera che rotola

Esercizi collegati: Esercizio svolto — altezza ottimale per la steccata · Esercizio svolto — sfera che rotola giù da un piano · Problema — Momento torcente rettangolare e L(t)