Problema — Sfera che rotola, velocità alla base

Testo

Una sfera piena di raggio $R$ e massa $m$ rotola senza strisciare lungo un piano inclinato, partendo da ferma a quota $h$. Ricava la velocità del centro di massa quando arriva alla base.

Soluzione

L’attrito statico non dissipa (nessuno strisciamento): si conserva l’energia meccanica, con l’energia cinetica divisa tra traslazione e rotazione. Con $I = \tfrac{2}{5}mR^2$ e il vincolo $\omega = v/R$: $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{2}{5}mR^2\Big)\frac{v^2}{R^2} = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{5}mv^2 = \tfrac{7}{10}mv^2$ Isolando $v$: $\ev{v = \sqrt{\tfrac{10}{7}\,gh}}$ Indipendente da massa e raggio: due sfere piene di taglie diverse arrivano alla base con la stessa velocità.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Rotolamento · Conservazione dell’energia meccanica · Energia cinetica rotazionale Oggetti: Sfera che rotola · Piano inclinato