Esercizio svolto — altezza ottimale per la steccata

Testo

Una palla da biliardo (sfera piena, raggio $r$, massa $m$) è colpita dalla stecca con un impulso orizzontale $\vec{I}$. A che altezza $b$ dal tavolo bisogna colpire affinché la palla rotoli senza strisciare fin dall’inizio?

Soluzione

Impulso traslazionale: l’impulso $I_x$ dà al centro di massa la quantità di moto $m\,v_\text{CM} = I_x$ Impulso angolare rispetto al punto di contatto P: la palla, per rotolare, deve avere un momento angolare rispetto a P coerente. Scomponendo il momento angolare rispetto a P come rotazione propria più momento del CM: $\tfrac{2}{5}mr^2\,\omega + m\,v_\text{CM}\,r = I_x\cdot b$ Condizione di rotolamento $v_\text{CM} = \omega r$ e $m v_\text{CM} = I_x$; sostituendo: $\tfrac{2}{5}mr^2\cdot\frac{v_\text{CM}}{r} + m\,v_\text{CM}\,r = m\,v_\text{CM}\cdot b$ $\tfrac{2}{5}r + r = b \quad\Rightarrow\quad \ev{b = \tfrac{7}{5}\,r}$ Bisogna colpire a $7/5$ del raggio dal tavolo, cioè leggermente sopra il centro (che è a quota $r$). Colpendo esattamente lì, l’impulso traslazionale e quello angolare si accordano e la palla parte in rotolamento puro, senza slittare.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Rotolamento · Momento angolare · Impulso Oggetti: Sfera che rotola