Problema — Disco con fune che si svolge

Testo

Un disco ($m_d = 4\;\mathrm{kg}$, $R = 1\;\mathrm{m}$, $I_d = \tfrac{1}{2}m_d R^2$) ruota a $\omega_A = 1\;\mathrm{rad/s}$ attorno a un perno centrale. Una fune collega il bordo a un pacchetto ($m_p = 7\;\mathrm{kg}$) inizialmente a $r_A = 1\;\mathrm{m}$ dal centro. Quando la fune si è svolta, il pacchetto è a $r_B = 2\;\mathrm{m}$. Calcola $\omega_B$.

Soluzione

Scegliendo il centro del disco come polo, la reazione del perno e la tensione (radiale) non producono momento: il momento angolare si conserva. Trattando il pacchetto come massa puntiforme a distanza $r$: $\left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_A^2\right)\omega_A = \left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_B^2\right)\omega_B$ Con $\tfrac{1}{2}m_d R^2 = 2\;\mathrm{kg\,m^2}$: $(2 + 7\cdot 1^2)\cdot 1 = (2 + 7\cdot 2^2)\,\omega_B \quad\Rightarrow\quad 9 = 30\,\omega_B$ $\ev{\omega_B = 0{,}3\;\mathrm{rad/s}}$ Il sistema rallenta: allontanando il pacchetto il momento d’inerzia cresce da $9$ a $30\;\mathrm{kg\,m^2}$, e $\omega$ cala in proporzione.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Momento d’inerzia Competenze: Conservazione del momento angolare Oggetti: Disco rotante