Disco con fune che si svolge

Un altro esempio classico di conservazione del momento angolare: un disco che ruota attorno a un perno centrale, con un pacchetto appeso a una fune che si svolge progressivamente dal bordo, allontanandosi dal centro.

Scegliendo il centro del disco come polo, la reazione del perno e la tensione (che è radiale) non producono momento: il momento angolare totale del sistema si conserva. Con il vincolo $v = \omega r$ tra la velocità del pacchetto e la velocità angolare, la conservazione si scrive

$\left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_A^2\right)\omega_A = \left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_B^2\right)\omega_B$

Numericamente, con $m_d = 4\;\mathrm{kg}$, $R = 1\;\mathrm{m}$, $m_p = 7\;\mathrm{kg}$, $r_A = 1\;\mathrm{m}$, $r_B = 2\;\mathrm{m}$ e $\omega_A = 1\;\mathrm{rad/s}$, si ottiene $\omega_B = 0{,}3\;\mathrm{rad/s}$.

Il sistema rallenta: man mano che il pacchetto si allontana dal centro, il suo contributo $m_p r^2$ al momento d’inerzia cresce (da $7\cdot 1^2 = 7$ a $7\cdot 2^2 = 28$), e poiché $L = I\omega$ resta costante, la velocità angolare deve calare. È la stessa fisica del pattinatore, girata al contrario: allargare la distribuzione di massa fa diminuire $\omega$. Lo svolgimento numerico è nel problema dedicato.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Momento d’inerzia Oggetti: Disco rotante

Esercizi collegati: Problema — Vero o falso su momento angolare e inerzia · Problema — Disco con fune che si svolge · Problema — Disco rotante colpito tangenzialmente