Massima e minima distanza dal corpo centrale

Il problema più classico della gravitazione è questo: dati la posizione iniziale e il vettore velocità di un satellite (o di una cometa, un pianeta, ecc.), trovare la sua distanza massima e minima dal corpo centrale. La chiave è che due grandezze si conservano contemporaneamente — l’energia totale e il momento angolare — e insieme bastano a chiudere il problema.

Strategia per max/min distanza

1. Calcolare l’energia totale nello stato iniziale A: $E_\text{tot} = \tfrac{1}{2}m v_A^2 - \dfrac{GMm}{r_A}$.
2. Calcolare il momento angolare rispetto al corpo centrale: $L = m\,\abs{\vv{r}\times\vv{v}}$, in modulo $L = m r v\sin\theta$ con $\theta$ angolo tra $\vv{r}$ e $\vv{v}$.
3. Nei punti di massima o minima distanza $\vv{v}\perp\vv{r}$, quindi $L = m v_B d_B$ (braccio $= d_B$).
4. Imporre conservazione di $L$ e conservazione di $E_\text{tot}$ tra A e B: si ottiene un’equazione di secondo grado in $d_B$ (o in $v_B$).
5. Le due soluzioni sono la distanza minima (perielio) e massima (afelio).

Note

Al punto di massimo o minimo avvicinamento il vettore velocità è tangente all’orbita e perpendicolare a $\vv{r}$: è questo che rende $L = m v_B d_B$ e permette di eliminare l’angolo.

Perché escono due soluzioni? In un’orbita ellittica ci sono esattamente due punti in cui la velocità è perpendicolare al raggio: il perielio (il più vicino) e l’afelio (il più lontano). In tutti gli altri punti la velocità ha una componente radiale, perché il corpo si sta avvicinando o allontanando dal centro. L’equazione di secondo grado cattura proprio questi due punti speciali.

Due soluzioni e il segno di $E_\text{tot}$

• Se $E_\text{tot} < 0$: l’equazione ha due radici positive, perielio e afelio (ellisse).
• Se $E_\text{tot} = 0$: una sola radice positiva, il perielio (parabola).
• Se $E_\text{tot} > 0$: una sola radice positiva, il punto di massimo avvicinamento (iperbole).

L’esercizio svolto satellite, afelio e perielio applica questa strategia passo per passo.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Orbite · Conservazione dell’energia meccanica · Conservazione del momento angolare Competenze: Conservazione dell’energia · Conservazione del momento angolare

Esercizi collegati: Vero o falso su energia e orbite · Velocità di una cometa al perielio · Esercizio svolto: satellite, afelio e perielio