Buchi neri e raggio di Schwarzschild

Cosa succede se comprimiamo una massa in una sfera sempre più piccola? La velocità di fuga $v_\text{fuga} = \sqrt{2GM/R}$ cresce al diminuire di $R$. Portando questo ragionamento all’estremo, esiste un raggio critico oltre il quale nemmeno la luce può fuggire: si ha un buco nero.

Raggio di Schwarzschild

Imponendo che la velocità di fuga eguagli la velocità della luce, $v_\text{fuga} = c$: $\sqrt{\frac{2GM}{R}} = c \;\Rightarrow\; \ev{R_S = \frac{2GM}{c^2}}$

Il calcolo che qui presentiamo è semiclassico — una descrizione rigorosa richiede la relatività generale — ma coglie l’ordine di grandezza corretto e l’idea essenziale: sotto $R_S$ la gravità è così intensa che nulla, luce compresa, sfugge.

Ordini di grandezza

• Terra: $R_S \approx 9\;\text{mm}$. Bisognerebbe comprimere tutta la massa terrestre in una sfera di meno di un centimetro.
• Sole: $R_S \approx 3\;\text{km}$.
• Sagittarius A*, il buco nero al centro della nostra galassia: massa di circa $4\cdot 10^6$ masse solari e $R_S \approx 12\cdot 10^6\;\text{km}$.

Il raggio di Schwarzschild non è la dimensione fisica dell’oggetto, ma quella dell’orizzonte degli eventi: la superficie ideale che separa la regione da cui si può ancora fuggire da quella da cui è impossibile. Il buco nero vero e proprio è concentrato in un volume enormemente più piccolo e denso.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Velocità di fuga Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

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