Dimostrazione della velocità di fuga

Testo

Partendo dalla conservazione dell’energia meccanica, dimostra che la velocità di fuga dalla superficie di un corpo celeste sferico di massa $M$ e raggio $R$ vale $v_f = \sqrt{2GM/R}$. Dimostra inoltre che tra velocità di fuga e velocità orbitale circolare alla superficie vale la relazione $v_f = \sqrt{2}\,v_\text{orb}$.

Soluzione

Impostazione con l’energia. La velocità di fuga è la minima velocità iniziale che permette a un corpo di massa $m$ di allontanarsi indefinitamente, arrivando all’infinito con velocità nulla. Il caso limite corrisponde a energia meccanica totale nulla. Tra la superficie (A) e l’infinito (B): $\underbrace{\tfrac{1}{2}m v_f^2}_{E_{\text{cin},A}} \underbrace{-\,\frac{GMm}{R}}_{E_{\text{pot},A}} = \underbrace{0}_{E_{\text{cin},B}} + \underbrace{0}_{E_{\text{pot},B}}$

La massa $m$ del corpo che fugge si semplifica e si isola $v_f$: $\tfrac{1}{2}v_f^2 = \frac{GM}{R} \quad\Longrightarrow\quad \ev{v_f = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}}$

Relazione con la velocità orbitale. Per un’orbita circolare alla superficie la forza gravitazionale fornisce la forza centripeta: $\frac{GMm}{R^2} = \frac{m\,v_\text{orb}^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad v_\text{orb} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Confrontando le due espressioni: $\frac{v_f}{v_\text{orb}} = \frac{\sqrt{2GM/R}}{\sqrt{GM/R}} = \sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad \ev{v_f = \sqrt{2}\,v_\text{orb}}$

Per fuggire dalla superficie basta quindi una velocità pari a circa $1{,}41$ volte quella necessaria a restare in orbita rasente.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Velocità di fuga · Conservazione dell’energia meccanica · Energia potenziale gravitazionale universale · Orbite Competenze: Conservazione dell’energia · Impostazione simbolica