Ranking dei periodi di quattro satelliti

Testo

Ranking. Quattro satelliti orbitano attorno a pianeti con massa $M$ e raggio orbitale $r$: (A) $M$, $r$; (B) $4M$, $r$; (C) $M$, $4r$; (D) $2M$, $2r$. Ordina i periodi $T \propto \sqrt{r^3/M}$ dal più piccolo al più grande.

Soluzione

Impostazione. Dalla terza legge di Keplero $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$, quindi il periodo scala come $T \propto \sqrt{r^3/M}$. Fissiamo l’unità con il caso (A) e calcoliamo il fattore $\sqrt{r^3/M}$ per ciascun satellite: $\begin{aligned} \text{(A)}\ M,\,r:\quad & \sqrt{r^3/M} = 1 \\ \text{(B)}\ 4M,\,r:\quad & \sqrt{r^3/(4M)} = \tfrac{1}{2} = 0{,}5 \\ \text{(C)}\ M,\,4r:\quad & \sqrt{(4r)^3/M} = \sqrt{64} = 8 \\ \text{(D)}\ 2M,\,2r:\quad & \sqrt{(2r)^3/(2M)} = \sqrt{8/2} = 2 \end{aligned}$

Ordinamento. Confrontando i valori $0{,}5 < 1 < 2 < 8$: $\ev{T_B < T_A < T_D < T_C}$

Il raggio pesa più della massa: aumentare $r$ (esponente $3$ sotto radice) allunga fortemente il periodo, mentre aumentare $M$ lo accorcia solo come $1/\sqrt{M}$.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Orbite Competenze: Ragionamento di ranking · Impostazione simbolica Oggetti: Satellite