Leggi di Keplero

Prima di Newton, Keplero aveva scoperto tre leggi empiriche del moto planetario, ricavate dai dati osservativi di Tycho Brahe senza conoscerne la causa. Il trionfo di Newton fu dimostrare che tutte e tre discendono da un’unica legge, quella di gravitazione universale con la sua dipendenza da $1/r^2$.

Le tre leggi di Keplero

1. Prima legge: i pianeti descrivono orbite ellittiche, con il Sole in uno dei due fuochi.
2. Seconda legge (delle aree): il raggio vettore pianeta-Sole spazza aree uguali in tempi uguali (conseguenza di $L$ conservato).
3. Terza legge (armonica): per tutti i pianeti del Sistema Solare vale $\dfrac{T^2}{a^3} = \text{costante}$.

La terza legge, nella forma esplicita, lega periodo e semiasse maggiore alla massa del corpo centrale:

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM_\star} = \text{costante}$

dove $a$ è il semiasse maggiore dell’ellisse e $T$ il periodo orbitale.

Il collaudo di Newton

La terza legge $T^2 \propto a^3$ è la relazione che Newton verificò confrontando il moto della Luna con la caduta di una mela. Se la forza scala come $1/r^2$, allora $T^2/a^3$ deve essere costante per tutti i pianeti: ed è esattamente ciò che Keplero aveva osservato. Il fatto che una legge dedotta teoricamente riproducesse dati raccolti decenni prima fu una delle prove più forti a favore della gravitazione universale.

La terza legge è anche uno strumento di misura: conoscendo $T$ e $a$ di un satellite si ricava la massa $M_\star$ del corpo attorno a cui orbita. È così che si “pesano” il Sole, i pianeti e persino le galassie.

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Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Orbite

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