Orbita ellittica — perielio, afelio e variazione della velocità

Testo

Orbita ellittica. Osserva il grafico dell’orbita ellittica di un pianeta intorno al Sole, posto in uno dei fuochi. Identifica perielio e afelio, e descrivi la variazione della velocità lungo l’orbita.

Il Sole occupa un fuoco dell’ellisse; perielio e afelio sono i due estremi dell’asse maggiore.

Soluzione

Identificazione. Il Sole è in un fuoco, spostato dal centro. Il punto dell’orbita più vicino al Sole è il perielio (a destra, dove il Sole è vicino al bordo); il punto più lontano è l’afelio (a sinistra).

Variazione della velocità. La seconda legge di Keplero (legge delle aree) dice che il raggio vettore Sole-pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. Vicino al Sole (perielio) il raggio è corto, quindi per coprire la stessa area il pianeta deve muoversi veloce; lontano (afelio) il raggio è lungo e il pianeta va lento. $\text{Perielio: } r\ \text{minimo},\ v\ \text{massima} \qquad \text{Afelio: } r\ \text{massimo},\ v\ \text{minima}$

Perché. È conservazione del momento angolare $L = m\,v\,r_\perp = \text{cost}$: se $r$ diminuisce, $v$ deve aumentare (e viceversa). Equivalentemente, dalla conservazione dell’energia si ricava la formula vis-viva $v^2 = GM\!\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)$ che dà $v$ in funzione della distanza $r$: massima al perielio (r piccolo), minima all’afelio (r grande). Energeticamente, al perielio l’energia potenziale (negativa) è minima e quella cinetica massima; all’afelio il contrario.

$\ev{\text{perielio}: r_{\min},\,v_{\max};\quad \text{afelio}: r_{\max},\,v_{\min};\quad L=mvr_\perp \text{ costante}}$

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Conservazione del momento angolare · Orbite Competenze: Lettura dei grafici