Conservazione del momento angolare e seconda legge di Keplero

Il momento angolare $\vec{L}$ di un pianeta rispetto alla stella si conserva, e la ragione è geometrica: la forza gravitazionale è sempre diretta lungo la congiungente pianeta-stella. Rispetto alla stella scelta come polo, questa forza ha braccio zero e quindi non produce alcun momento. Senza momento esterno, il momento angolare resta costante lungo tutta l’orbita.

Seconda legge di Keplero come conseguenza

La conservazione di $\vec{L}$ equivale alla seconda legge di Keplero: il pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. Nei punti di massimo avvicinamento (perielio) e massimo allontanamento (afelio) la velocità è perpendicolare alla congiungente pianeta-stella, quindi il braccio è $d$ e $L = m\,v\,d$.

Questa relazione ha una conseguenza intuitiva potente: dove il pianeta è più vicino alla stella deve andare più veloce, e dove è più lontano più lento, perché il prodotto $v\,d$ deve restare costante.

Nei punti estremi di un'orbita

$L_\text{perielio} = m v_p d_p \qquad L_\text{afelio} = m v_a d_a$ Uguagliando i due (stesso $L$): $\;v_p d_p = v_a d_a$. Più vicino significa più veloce.

Il momento angolare è dunque la seconda quantità conservata dell’orbita, accanto all’energia. Insieme, energia e momento angolare bastano a risolvere quasi tutti i problemi orbitali senza dover integrare le equazioni del moto.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Momento angolare · Conservazione del momento angolare · Leggi di Keplero Competenze: Scelta del polo

Esercizi collegati: Cometa al perielio e all’afelio · Vero o falso su energia e orbite · Orbita ellittica — perielio, afelio e variazione della velocità