La distribuzione delle velocità

La $v_\text{rms}$ è una velocità media (in senso quadratico), ma in realtà le molecole hanno velocità molto diverse fra loro: alcune quasi ferme, altre velocissime. La distribuzione di tutte le velocità di un gas in equilibrio termico è stata trovata indipendentemente da James Clerk Maxwell (1860) e Ludwig Boltzmann (1872).

Principio — Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

Per un gas di molecole di massa $m$ in equilibrio termico a temperatura $T$, la frazione di molecole con velocità (in modulo) fra $v$ e $v + dv$ è $\ev{f(v) = 4\pi\,n\,\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^2\,\exp\!\left(-\frac{m v^2}{2 k_B T}\right)}$ L’area sotto la curva $f(v)$ fra $0$ e $\infty$ è il numero totale di molecole $N$.

La forma della curva nasce da due fattori in competizione: il termine $v^2$ la fa crescere da zero (poche molecole hanno velocità quasi nulla), mentre il termine esponenziale $\exp(-mv^2/2k_BT)$ la fa poi decadere (pochissime molecole hanno velocità enormi). Il risultato è una campana asimmetrica, con un picco e una lunga coda verso le alte velocità.

Distribuzione delle velocità a due temperature. Aumentando $T$ il picco si sposta verso destra e si abbassa, mentre l’area sottesa (il numero totale di molecole $N$) resta invariata.

In sintesi

Le molecole NON hanno tutte la stessa velocità: c’è una distribuzione. Picco a $v_p$, coda esponenziale verso le alte velocità. Aumentando $T$ il picco si sposta a destra e si abbassa, ma l’area sotto la curva è fissa.

Prova tu — simulazione interattiva

Nella simulazione qui sotto due gas di dischi rigidi — uno caldo (rosso, in alto) e uno freddo (blu, in basso) — sono separati da un setto: ognuno raggiunge la propria distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Rimuovendo il setto i due gas si mescolano e, scambiandosi energia negli urti, entrambe le distribuzioni convergono verso un’unica curva di Maxwell-Boltzmann alla temperatura comune (in 2D distribuzioni di Rayleigh).

Due gas separati da un setto (caldo rosso in alto, freddo blu in basso): togli il setto e guarda le due distribuzioni delle velocità fondersi in un'unica distribuzione di Maxwell-Boltzmann comune.

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Distribuzione di Maxwell-Boltzmann · Velocità quadratica media

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