Le tre velocità caratteristiche

Dalla curva di Maxwell-Boltzmann si ricavano tre velocità “caratteristiche”, che riassumono in tre numeri l’intera distribuzione:

• velocità più probabile $v_p$ (il picco di $f(v)$, la velocità posseduta dal maggior numero di molecole): $v_p = \sqrt{2 k_B T / m}$.
• velocità media aritmetica $\langle v\rangle$: $\langle v\rangle = \sqrt{8 k_B T / (\pi m)}$.
• velocità quadratica media $v_\text{rms}$: $v_\text{rms} = \sqrt{3 k_B T / m}$.

I tre numeri sono sempre nell’ordine $v_p < \langle v\rangle < v_\text{rms}$, con rapporti fissi, indipendenti da $T$ e da $m$:

$\frac{\langle v\rangle}{v_p} = \frac{2}{\sqrt\pi} \approx 1{,}128 \qquad \frac{v_\text{rms}}{v_p} = \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1{,}225$

Formula chiave — Maxwell-Boltzmann

$v_p = \sqrt{\frac{2k_BT}{m}}\qquad \langle v\rangle = \sqrt{\frac{8 k_BT}{\pi m}}\qquad v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3 k_BT}{m}}$ $v_p : \langle v\rangle : v_\text{rms} \approx 1{,}00 : 1{,}13 : 1{,}22$

Esempio — Azoto a temperatura ambiente

Per N$_2$ a $T = 300$ K, con massa per molecola $m = 4{,}65\cdot 10^{-26}$ kg: $v_p = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}38\cdot 10^{-23}\cdot 300}{4{,}65\cdot 10^{-26}}} \approx 421\;\text{m/s}$ e inoltre $\langle v\rangle \approx 475$ m/s, $v_\text{rms} \approx 517$ m/s. Le molecole più veloci, però, hanno code che si estendono ben oltre i $1000$ m/s: è grazie a queste code (esponenzialmente piccole ma non nulle) che alcune molecole possono superare la velocità di fuga dall’atmosfera o varcare la barriera coulombiana per la fusione nucleare nel Sole.

Contesto storico

Maxwell ricavò la distribuzione nel 1860 partendo da ipotesi di simmetria (isotropia e indipendenza statistica delle componenti $v_x, v_y, v_z$). Boltzmann nel 1872 la derivò in modo dinamico, mostrando che è lo stato stazionario delle collisioni binarie: era il primo passo verso la meccanica statistica moderna. È la stessa distribuzione che governa la coda di alta energia per la fusione nei nuclei stellari (Atkins 2010).

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Distribuzione di Maxwell-Boltzmann · Velocità quadratica media

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