Cammino libero medio

La $v_\text{rms}$ ci dice quanto sono veloci le molecole, ma non quanto lontano arrivano fra un urto e il successivo. Una molecola di gas non procede in linea retta: rimbalza continuamente sulle altre. La distanza media percorsa fra due urti consecutivi è detta cammino libero medio ($\lambda$; da non confondere con la lunghezza d’onda).

Principio — Cammino libero medio

Per un gas con $n = N/V$ molecole per unità di volume, modellizzando le molecole come sferette rigide di diametro $d$, il cammino libero medio vale $\ev{\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\pi\,d^2}}$

Idea della formula. In un tempo $\Delta t$ una molecola spazza un cilindro di sezione $\pi d^2$ (l’area effettiva di urto) e lunghezza $v\,\Delta t$. Le molecole bersaglio dentro quel cilindro sono in media $n\,\pi d^2\,v\,\Delta t$. Il fattore $\sqrt 2$ compare quando si tiene conto che anche i bersagli si muovono, aumentando gli “incontri”. Il numero medio di urti per unità di tempo è quindi $\sqrt 2\,n\,\pi d^2\,v$, e il cammino fra due urti è $\lambda = v/(\sqrt 2\,n\pi d^2)$, indipendente dalla velocità $v$ (Halliday 2014).

Esempio — Aria a temperatura ambiente

Per l’azoto a $T = 300$ K e $P = 1$ atm, con $d \approx 3{,}7\cdot 10^{-10}$ m, si ha $n = P/(k_B T) \approx 2{,}4\cdot 10^{25}\;\text{m}^{-3}$ e quindi $\lambda = \frac{1}{\sqrt 2\cdot 2{,}4\cdot 10^{25}\cdot \pi\cdot (3{,}7\cdot 10^{-10})^2} \approx 6{,}8\cdot 10^{-8}\;\text{m} \approx 70\;\text{nm}$ Centinaia di volte il diametro molecolare, ma milioni di volte più corto della distanza che una molecola percorrerebbe in un secondo a $v_\text{rms}\approx 500$ m/s. Una molecola di N$_2$ fa circa $7\cdot 10^9$ urti al secondo.

A bassa pressione $\lambda$ cresce come $1/P$: a $10^{-6}$ atm le molecole percorrono interi metri prima di urtarsi. È la base del vuoto usato nei tubi catodici e nei laboratori di fisica delle superfici.

In sintesi

$\lambda$ è piccolo per un gas denso, grande per un gas rarefatto. Determina viscosità, conducibilità termica e diffusione del gas.

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media Competenze: Interpretazione micro-macro

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