Problema — Velocità quadratica media e velocità del suono

Testo

Calcola la velocità quadratica media delle molecole di azoto a temperatura ambiente ($T = 300$ K, $M_{N_2} = 28$ g/mol). Confronta con la velocità del suono nell’aria ($\sim 340$ m/s).

Soluzione

La velocità quadratica media si ricava eguagliando l’energia cinetica media di traslazione per mole, $\tfrac{3}{2}RT$, all’espressione $\tfrac{1}{2}M v_\text{rms}^2$: $v_\text{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ Con $M = 28$ g/mol $= 0{,}028$ kg/mol: $v_\text{rms}=\sqrt{\frac{3\cdot 8{,}31\cdot 300}{0{,}028}}\approx 517\ \text{m/s}$ Nota: la velocità media (aritmetica) è una quantità distinta e più piccola, $\langle v\rangle=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}\approx 475\text{–}484\ \text{m/s}$ È questa $\langle v\rangle$ il valore $\approx 484$ m/s spesso citato; la $v_\text{rms}$ chiesta qui vale $\approx 517$ m/s. Confronto con il suono: le molecole si muovono in media più veloci della velocità del suono ($\sim 340$ m/s), coerente col fatto che il suono si propaga proprio grazie agli urti fra molecole, quindi non può superarne la velocità tipica. $\ev{v_\text{rms}\approx 517\ \text{m/s} > v_\text{suono}\approx 340\ \text{m/s}}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media Competenze: Impostazione simbolica