Esercizio svolto — Fuga dell'idrogeno dalla ionosfera

Testo

Nella ionosfera a $T \approx 1000$ K, le molecole più veloci possono sfuggire alla gravità terrestre. La velocità di fuga è $v_f = 11{,}2$ km/s. Stima la frazione di molecole di H$_2$ con $v > v_f$, e confronta con l’azoto.

Soluzione

La coda della distribuzione di Maxwell-Boltzmann sopra una velocità $v_f$ scala come $e^{-m v_f^2/(2 k_B T)}$. Conviene calcolare l’esponente: è quello che ci dice se la frazione è moltissimo piccola, oppure soltanto molto piccola. Per H$_2$ (massa molecolare $m \approx 2\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}$ kg $= 3{,}32\cdot 10^{-27}$ kg): $\frac{m v_f^2}{2 k_B T}= \frac{3{,}32\cdot 10^{-27}\cdot (11{,}2\cdot 10^3)^2}{2\cdot 1{,}38\cdot 10^{-23}\cdot 1000}\approx 15{,}1$ Quindi una frazione $\sim e^{-15{,}1} \approx 3\cdot 10^{-7}$ delle molecole supera la velocità di fuga: piccola, ma non zero. In miliardi di anni, le code esponenziali svuotano l’atmosfera del suo idrogeno: è per questo che oggi quasi non c’è idrogeno libero nell’aria, anche se nell’universo è l’elemento più abbondante. Per N$_2$ la massa molecolare è $14$ volte più grande: l’esponente diventa $\approx 211$, e la frazione $e^{-211}$ è enormemente piccola, indistinguibile da zero in qualunque senso fisico (in tutta la storia dell’universo non sono mai uscite abbastanza molecole di azoto in totale). L’atmosfera trattiene saldamente l’azoto.

La morale è duplice. Primo: piccoli numeri esponenziali, integrati su tempi astronomici, possono cambiare la composizione di un’atmosfera. Secondo: due gas alla stessa temperatura hanno distribuzioni differenti per ragioni puramente cinetiche, e questo decide il destino di un pianeta. $\ev{\text{H}_2:\ \text{esponente}\approx 15{,}1\Rightarrow \text{frazione}\sim e^{-15{,}1}\approx 3\cdot 10^{-7};\quad \text{N}_2:\ \approx 211\Rightarrow e^{-211}\approx 0}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Distribuzione di Maxwell-Boltzmann Competenze: Stime di Fermi · Analisi di casi limite e fantafisica