Problema — Due gas alla stessa temperatura

Testo

Due gas alla stessa temperatura. Idrogeno (H$_2$) e azoto (N$_2$) sono mantenuti alla stessa temperatura $T$. Quali grandezze microscopiche dei due gas sono uguali e quali no? Quantifica il rapporto delle velocità quadratiche medie.

Soluzione

A pari temperatura ciò che è fissato è l’energia cinetica media di traslazione per molecola, che non dipende dalla massa: $\langle E_k\rangle=\tfrac{3}{2}k_B T \qquad \text{uguale per H}_2 \text{ e N}_2$ Ciò che invece cambia è la velocità, perché a pari energia una massa maggiore corrisponde a velocità minore: $v_\text{rms}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}\propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ Il rapporto delle velocità dipende solo dal rapporto delle masse. La massa molecolare di N$_2$ ($\approx 28$ u) è $14$ volte quella di H$_2$ ($\approx 2$ u): $\frac{v_\text{rms}^{H_2}}{v_\text{rms}^{N_2}}=\sqrt{\frac{m_{N_2}}{m_{H_2}}}=\sqrt{14}\approx 3{,}7$ $\ev{\langle E_k\rangle=\tfrac{3}{2}k_B T\ \text{uguali};\ v_\text{rms}\propto 1/\sqrt{m}\ \text{diverse: H}_2\ \sqrt{14}\approx 3{,}7\times\ \text{più veloce di N}_2}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia cinetica · Velocità quadratica media Competenze: Interpretazione micro-macro