Problema — Fantafisica: gas in cinque dimensioni

Testo

In uno spazio a $d = 5$ dimensioni spaziali, quanti gradi di libertà traslazionali ha una molecola monoatomica? Calcola $\bar E$ per molecola e $c_V$ molare.

Soluzione

In uno spazio a $d$ dimensioni una molecola può muoversi lungo $d$ direzioni indipendenti, quindi ha $d$ gradi di libertà traslazionali: $f = d = 5$ Per il teorema di equipartizione ogni grado di libertà porta un’energia media $\frac{1}{2}k_B T$, quindi l’energia media per molecola è $\bar E = \frac{f}{2}\,k_B T = \frac{5}{2}\,k_B T$ Il calore molare a volume costante è $c_V = \frac{f}{2}R$: $c_V = \frac{5}{2}R$ $\ev{f = 5, \quad \bar E = \tfrac{5}{2}k_B T, \quad c_V = \tfrac{5}{2}R}$ Curiosamente in $d = 5$ un gas monoatomico ha lo stesso $c_V$ di un gas biatomico in $d = 3$ (dove $f = 5$ tra traslazioni e rotazioni): ciò che conta è solo il numero totale di gradi di libertà quadratici.

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia interna Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica